Požadavky ke státním zavěrečným zkouškám
(pro studijní plán se specializacemi)
Tyto požadavky se týkají studentů, jejichž studijní plán obsahuje volbu specializace. Tj. studentů, kteří nastoupili ke studiu v roce 2022/23 nebo později. Předchozí verze požadavků je k nahlédnutí zde.
Obecné informace k ústní části SZZ
Největší důraz u ústní zkoušky je kladen na znalosti důležitých definic, tvrzení (s předpoklady) a principů a jejich zasazení do souvislostí, na nadhled a všeobecnou orientaci v oboru. Dlouhé technické důkazy se nezkoušejí podrobně, ale očekává se schopnost stručně popsat způsob odvození důležitých výsledků.
Velmi důležitá je znalost základních pojmů, včetně těch, které byly probrány v předmětech bakalářského studia (viz vstupní podmínky oboru).
I. Základy pravděpodobnosti, statistiky a náhodných procesů
(Společný tématický okruh)
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMSA333 Teorie pravděpodobnosti 1, NMSA334 Náhodné procesy 1 (vstupní požadavky)
NMSA413 Teorie optimalizace
NMSA405 Teorie pravděpodobnosti 2
NMSA407 Lineární regrese
NMSA409 Náhodné procesy 2
Vysvětlení požadavků:
Markovovy řetězce s diskrétními stavy: Počáteční rozdělení, pravděpodobnosti přechodu, absolutní pravděpodobnosti. Klasifikace stavů. Stacionární rozdělení. Rozklad množiny stavů, výpočet pravděpodobností absorpce.
Markovovy procesy s diskrétními stavy a jejich aplikace: Intenzity přechodu. Kolmogorovovy diferenciální rovnice. Stacionární a limitní rozdělení. Poissonův proces. Lineární proces růstu, procesy množení a zániku.
Optimalizace: Konvexní analýza, konvexní kužele, věty o oddělitelnosti. Farkasova věta, konvexní funkce více proměnných. Teorie nelineárního programování. Lokální a globální podmínky optimality, podmínky regularity. Lineární a konvexní programování jako speciální případ nelineárního programování s aplikacemi (dopravní problém, úloha kvadratického programování).
Martingaly s diskrétním časem: Podmíněná střední hodnota a její vlastnosti, podmíněné rozdělení, výpočet podmíněné střední hodnoty. Definice martingalu a submartingalu, markovské časy, vlastnosti a příklady. Optional sampling a stopping theorem, Waldovy rovnosti.
Základy lineární regrese: Definice a předpoklady lineárního modelu o plné hodnosti. Metoda nejmenších čtverců, Gaussova-Markovova věta. Vlastnosti LS odhadů a jejich asymptotické chování. Testování podmodelů. Modely analýzy rozptylu jednoduchého a dvojného třídění. Interpretace lineárního modelu s interakcemi. Metoda vážených nejmenších čtverců.
Stacionární posloupnosti a procesy: Striktní a slabá stacionarita. Spektrální rozklad autokovarianční funkce, spektrální hustota, vzájemný vztah. Spektrální rozklad stacionární posloupnosti. Posloupnosti MA, AR, ARMA a lineární proces. Predikce v konečných a nekonečných stacionárních posloupnostech.
II. Specializace
Dle zvolené specializace je druhý z tématických okruhů jednou z níže uvedených variant IIa, IIb, IIc
Specializace Ekonometrie: IIa. Ekonometrické a optimalizační metody
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMSA403 Teorie optimalizace
NMSA409 Náhodné procesy 2
NMEK412 Optimalizace s aplikací ve financích
NMEK432 Ekonometrie
NMST412 Zobecněné lineární modely
NMEK531 Matematická ekonomie
NMST537 Časové řady
Vysvětlení požadavků:
Ekonometrie: Ekonometrická zobecnění lineární regrese (heteroskedasticita, autokorelovaná rezidua, dynamické modely) - odhad modelu a statistická inference. Odhad lineárního regresního modelu metodou instrumentálních proměnných. Panelová data (model s fixními efekty, model s náhodnými efekty). Vektorová autoregrese.
Zobecněné lineární modely: Definice, odhady parametrů, testování submodelů, logistická a loglineární regrese, aplikace na kontingenční tabulky.
Optimalizace: Konvexní analýza, konvexní kužele, věty o oddělitelnosti. Farkasova věta, konvexní funkce více proměnných. Lineární programování (dualita, metody řešení, dopravní problém). Teorie nelineárního programování. Lokální a globální podmínky optimality prvního a druhého řádu. Podmínky regularity. Konvexní programování jako speciální případ nelineárního programování.
Pokročilá optimalizace: Základy nehladké optimalizace, subgradient a subdiferenciál. Parametrické programování. Vícekriteriální optimalizace. Stochastické programování.
Aplikace optimalizačních úloh v ekonomii a financích: Úlohy optimalizace portfolia, měření rizika portfolia, Markowitzův model a jeho zobecnění, teorie koherentních měr rizika, užitkové funkce, víceperiodická zobecnění úloh optimalizace portfolia.
Stacionární posloupnosti a časové řady: Dekompoziční metody (včetně predikce). Trend (matematické křivky, metoda klouzavých průměrů, exponenciální vyrovnávání). Sezónnost (Holtova-Wintersova metoda, testování periodicity). Testy náhodnosti. Boxova-Jenkinsova metodologie pro modely ARMA (stacionarita, Yuleovy-Walkerovy rovnice, výpočet autokorelační funkce, identifikace modelu, odhad, verifikace, predikce). Modely ARIMA a SARIMA. Kalmanův filtr. Finanční časové řady (EWMA, ARCH, GARCH).
Matematická ekonomie: Axiomatická teorie užitku, užitkové funkce a jejich využití při rozhodování v riziku, stochastická dominance. Teorie chování spotřebitele a teorie firmy, poptávkové funkce, produkční funkce. Leontievův model a jeho vlastnosti. Základy teorie her (kooperativní a nekooperativní hry).
Specializace Statistika: IIb. Pokročilá statistická analýza
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMSA407 Lineární regrese
NMST412 Zobecněné lineární modely
NMST422 Longitudinální a panelová data
NMST424 Matematická statistika 3
NMST431 Bayesovské metody
NMST511 Analýza cenzorovaných dat
NMST539 Mnohorozměrná analýza
Vysvětlení požadavků:
Regresní modely pro nenormální a korelovaná data: Regresní modely pro nenormální a korelovaná data: Zobecněný lineární model, odhadování parametrů, testování submodelů. Logistická a loglineání regrese: Interpretace parametrů, skórová statistika, věrohodnostní rovnice, deviance. Regresní modely pro kontingenční tabulky. Loglineární modely pro analýzu intenzity událostí. Kvazivěrohodnost, nadměrná disperse, sandwichový odhad rozptylu, zobecněné odhadovací rovnice (GEE): základní myšlenky. Lineární smíšený model: definice, předpoklady, interpretace, příklady modelů s náhodným absolutním členem a náhodnou směrnicí. Odhady parametrů lineárního smíšeného modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou REML: základní myšlenka. Testování hypotéz a intervaly spolehlivosti pro parametry lineárního smíšeného modelu.
Matematická statistika 3: Metoda maximální věrohodnosti, profilová věrohodnost, M- a Z- odhady; definice, heuristické odvození asymptotické normality. Souvislost s maximálně věrohodnými odhady.
Bayesovské metody: Bayesova věta, apriorní a aposteriorní rozdělení. Metody volby apriorních rozdělení: Jeffreysovo apriorní rozdělení, neinformativní a slabě informativní apriorní rozdělení, konjugované systémy, empirické metody, hierarchicky specifikované apriorní rozdělení. Bayesovská inference pro (zobecněný) lineární (smíšený) model, parametrické modely pro cenzorovaná data. Využití bayesovského doplňování dat.
Analýza přežití: Funkce přežití, riziková funkce, náhodné censorování, nezávislé censorování. Kaplan-Meierův odhad funkce přežití, Nelson-Aalenův odhad kumulativního rizika: definice, asymptotické vlastnosti. Vážené logrankové testy, zavedení testových statistik, asymptotické vlastnosti za nulové hypotézy. Coxův model: definice, interpretace parametrů, parciální věrohodnost, skórová statistika, informační matice. Asymptotické vlastnosti odhadů v Coxově modelu, testy a intervaly spolehlivosti.
Mnohorozměrné statistické metody: Mnohorozměrné normální rozdělení a jeho základní vlastnosti. Datové matice z mnohorozměrného normálního rozdělení, Wishartovo a Hotellingovo rozdělení, testování hypotéz o mnohorozměrném normálním rozdělení (Hotellingův test). Analýza hlavních komponent, definice, vlastnosti, interpretace, odhady hlavních komponent. Faktorová analýza, definice, vlastnosti, odhady parametrů, souvislost s analýzou hlavních komponent. Diskriminační analýza, diskriminační pravidlo, metoda maximální věrohodnosti při diskriminaci, Bayesovská diskriminace, pravděpodobnost chybné klasifikace.
Specializace Pravděpodobnost: IIc. Náhodné procesy v čase i prostoru
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMSA405 Teorie pravděpodobnosti 2
NMTP432 Stochastická analýza
NMTP434 Principy invariance
NMTP438 Prostorové modelování
Vysvětlení požadavků:
Náhodné procesy: Existence procesu se zadaným systémem konečněrozměrných rozdělení (Daniellova-Kolmogorovova věta), existence spojité modifikace procesu (Kolmogorovova-Čencovova věta), filtrace (spojitost, úplnost), měřitelnost procesů (měřitelnost, adaptovanost, progresivní měřitelnost). Markovské časy s hodnotami v R+, čas vstupu procesu do množiny jako markovský čas, σ-algebra událostí do markovského času. Kvadratická variace a kovariace náhodných procesů.
(Super/sub) martingaly s diskrétním a spojitým časem: (Super/sub) martingal, Doobovy maximální nerovnosti, věty o markovském zastavení a vzorkování (optional stopping, optional sampling), Doobův rozklad pro martingaly s diskrétním časem, věty o konvergenci submartingalu, lokální martingaly, Doobův-Meyerův rozklad pro spojité lokální martingaly.
Základy stochastické analýzy: Wienerův proces, jeho vlastnosti (konstrukce a existence, vlastnosti trajektorií, kvadratická variace, silná markovská vlastnost, rozdělení maxima, apod.) a odvozené procesy (např. Brownův most). Konstrukce Itôova integrálu L2--procesu vůči Wienerovu procesu a jeho rozšíření na integrál procesu s kvadraticky integrovatelnými trajektoriemi. Základní vlastnosti Itôova integrálu. Itôova formule pro C2 funkcionály Wienerova procesu a její užití na výpočet integrálu typu WpdW. Řešení stochastické diferenciální rovnice a jeho existence a jednoznačnost. Řešení lineární rovnice s aditivním, resp. lineárně multiplikativním, šumem (Ornsteinův-Uhlenbeckův proces, resp. geometrický Brownův pohyb).
Principy invariance: Metrický prostor a jeho topologie. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na metrických prostorech. Polské prostory a Prochorovova věta. Portmanteau věta. Přenos slabé konvergence transformací. Prostor reálných spojitých funkcí C([0,1]), jeho topologie, charakterizace kompaktů. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na C([0,1]). Donskerova věta v C([0,1]).
Prostorové modelování: Náhodné pole na mříži, lokální markovská vlastnost, podmíněná nezávislost, Hammersleyho-Cliffordova věta, Isingův model. Náhodné pole na spojité oblasti, slabá a vnitřní stacionarita a izotropie, variogram a autokovarianční funkce, jejich vlastnosti a příklady. Náhodná míra, její momentové míry, Campbellova míra, Palmovo rozdělení náhodné míry. Bodový proces, jeho rozdělení, jednoduchý bodový proces, binomický, Poissonův a Coxův bodový proces. Stacionární bodové procesy, charakteristiky a příklady, shlukové procesy, procesy s pevným jádrem. Konečné bodové procesy s hustotou, Papangelouva podmíněná intenzita, Georgiiho-Nguyenova-Zessinova identita, markovské bodové procesy. Kótované bodové procesy, charakteristiky a modely.
Garant programu
Kontakt
tel. 221 91 3400
MFF Karlín, druhé patro, místnost K234. Dveře přímo vedle hlavního schodiště (foto), zvonek "Omelka Pešta". Telefon 22 191 3400.
Konzultační hodiny garanta
Dle domluvy